文章目录

1 集合

1.1 集合的表示方法

1. 2 常用的集合

1.3 元素与子集

1.4 集合运算

2 簇

3 向量

4 矩阵

1 集合

1.1 集合的表示方法

类型

符号表示举例

文字

说明

枚举法

1) A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } \mathbf{A} = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} A={

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}是阿拉伯数字的集合 2 ) N = { 0 , 1 , 2 , … , } 2) \mathbf{N} = \{0, 1, 2, \dots,\} 2)N={

0,1,2,…,}是自然数的集合 3 ) Ω = { a , b , … , z } 3) \mathbf{\Omega} = \{\textrm{a}, \textrm{b}, \dots, \textrm{z}\} 3)Ω={

a,b,…,z}是英文字母表

1) \mathbf{A} = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}2) \mathbf{N} = {0, 1, 2, \dots,}3) mathbf{\Omega} = {\textrm{a}, \textrm{b}, \dots, \textrm{z}}

易错的三个坑：1) 逗号前无空格，逗号后有空格； 2) 集合要用加粗； 3) 集合用{ }，且元素无序

枚举的简记法

1) 两个整数间的枚举集合： [ 1..10 ] = { 1 , 2 , … , 10 } [1 ..10] = \{1, 2, \dots, 10\} [1..10]={

1,2,…,10}2) 区间：（3, 5）[3,5) … 3) X = { x i } i = 1 n = { x 1 , … , x n } \mathbf{X} = \{ x_i\}_{i=1}^n = \{ x_1, \dots, x_n\} X={

xi​}i=1n​={

x1​,…,xn​}

1) [1. .10] = {1, 2, \dots, 10}2)（3, 5）[3,5)3) \mathbf{X} = { x_i}_{i=1}^n = {x_1, \dots, x_n}

谓词法

奇数的集合： O = { x ∣ x ∈ N , x m o d 2 = 1 } \mathbf{O} = \{ x \vert x \in \mathbf{N}, x \mod 2 = 1\} O={

x∣x∈N,xmod2=1} 或 O = { x ∈ N ∣ x m o d 2 = 1 } \mathbf{O} = \{ x \in \mathbf{N} \vert x \mod 2 = 1\} O={

x∈N∣xmod2=1}

1) mathbf{O} = { x \vert x \in \mathbf{N}, x \mod 2 = 1} 2) \mathbf{O} = { x \in \mathbf{N} \vert x \mod 2 = 1}

第2种写法，通常把基本的限制写在左边，但是只能写一个条件

1. 2 常用的集合

类型

符号

文字

说明

实数

R ( 常 用 ， 推 荐 ） \mathbb{R}(常用，推荐） R(常用，推荐） R \mathcal{R} R（可以接受）

\mathbb{R}\mathcal{R}

R \mathbb{R} R是实数专用，不能另做他用

空集

∅ \emptyset ∅

\emptyset

ϕ \phi ϕ（\phi）是错误的表达

全集

U \mathbf{U} U

\mathbf{U}

1.3 元素与子集

类型

符号

文字

说明

元素

x ∈ X x \in \mathbf{X} x∈X

x \in \mathbf{X}

元素 x x x与集合 X \mathbf{X} X的关系

子集

A ⊂ B \mathbf{A} \subset \mathbf{B} A⊂B

\mathbf{A} \subset \mathbf{B}

集合A与集合B的关系

子集

A ⊆ B \mathbf{A} \subseteq \mathbf{B} A⊆B

\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}

集合A与集合B的关系

1.4 集合运算

运算类型

符号

文字

说明

基

∣ X ∣ \vert \mathbf{X} \vert ∣X∣

\vert \mathbf{X} \vert

集合 X \mathbf{X} X中元素的个数 ∣ ∅ ∣ = 0 \vert \emptyset \vert = 0 ∣∅∣=0

并

1) X ∪ Y \mathbf{X} \cup \mathbf{Y} X∪Y 2) ⋃ i = 1 n X i \bigcup_{i=1}^n \mathbf{X}_i ⋃i=1n​Xi​

1) \mathbf{X} \cup \mathbf{Y} 2) \bigcup_{i=1}^n \mathbf{X}_i

1) 两个集合并 2) n个集合并

交

1) X ∩ Y \mathbf{X} \cap \mathbf{Y}